Question

如图，直三棱柱ABCA₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点．

(1)证明：BC₁∥平面A₁CD；

(2)设AA₁＝AC＝CB＝2，AB＝2，求三棱锥CA₁DE的体积．

Answer 1

 (1)证明：连接AC₁交A₁C于点F，则F为AC₁中点，连接DF.

又D是AB中点，则BC₁∥DF.

因为DF⊂平面A₁CD，BC₁⊄平面A₁CD，所以BC₁∥平面A₁CD.

(2)解析：因为ABCA₁B₁C₁是直三棱柱，所以AA₁⊥CD.

又因为AC＝CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB.

又AA₁∩AB＝A，于是CD⊥平面ABB₁A₁.

由AA₁＝AC＝CB＝2，AB＝2得∠ACB＝90°，CD＝，

A₁D＝，DE＝，A₁E＝3，

故A₁D²＋DE²＝A₁E²，即DE⊥A₁D.

所以VC－A₁DE＝××××＝1.