Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAC=90°，O为AC的中点，PO⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面PAC；
（Ⅱ）在线段PB上是否存在一点M，使得OM∥平面PAD？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,探究型,空间位置关系与距离

分析：（ I）先证明AD⊥AC，再证明PO⊥AD．即可证AD⊥平面PAC．
（ II）设PA、AD的中点分别为E、F，连结OF、ME、EF，证明四边形OMEF是平行四边形，即可证明OM∥EF，从而可证OM∥平面PAD．

解答： （本小题满分14分）
证明：（ I）在△ADC中，因为∠DAC=90°，所以AD⊥AC．
又因为 PO⊥面ABCD，AD?平面ABCD
所以 PO⊥AD．又因为 PO∩AC=O，PC、AC?平面PAC，
所以AD⊥平面PAC．…（6分）
（ II）存在．当M为PB中点时，OM∥平面PAD．…（7分）
证明：设PA、AD的中点分别为E、F，连结OF、ME、EF，在△ACD中，O为AC的中点，
所以OF∥CD，OF=

1

2

CD．在△PAB中，M、E为PB、PA的中点，
所以 ME∥AB， ME=

1

2

AB，ME∥OF，ME=OF，
所以 四边形OMEF是平行四边形，
所以 OM∥EF．
因为 OM?平面PAD，EF?平面PAD，
所以 OM∥平面PAD．…（14分）

点评：本题主要考察了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，取M为PB中点，PA、AD的中点分别为E、F，连结OF、ME、EF，是解题的关键，属于中档题．