Question

19．在△ABC中，点M是边BC的中点．若∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=-$\frac{1}{2}$，则|${\overrightarrow{AM}}$|的最小值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，由向量数量积的定义可得bc=1，运用向量中点表示，由向量的平方即为模的平方，结合基本不等式可得最小值．

解答 解：设△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，
∠A=120°，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=cbcosA=-$\frac{1}{2}$bc=-$\frac{1}{2}$，
即bc=1，
点M是边BC的中点，可得：
$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
|$\overrightarrow{AM}$|²=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²+2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$）
=$\frac{1}{4}$（c²+b²-1）≥$\frac{1}{4}$（2bc-1）=$\frac{1}{4}$×（2-1）=$\frac{1}{4}$，
即有|$\overrightarrow{AM}$|≥$\frac{1}{2}$，
当且仅当b=c时，取得最小值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的中点表示，考查向量数量积的定义和性质，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题．