Question

7．设直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l与曲线C₁交于A，B两点，则|AB|=$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1即可化为直角坐标方程．直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为普通方程．求出圆心C₁（0，0）到直线l的距离d，利用弦长、弦心距、半径的关系即可得出．

解答 解：由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为x²+y²=1，

直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{3}{5}t}\\{y=\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为4x-3y-4=0．
∴圆心C₁（0，0）到直线l的距离d=$\frac{|-4|}{\sqrt{{4}^{2}+（-3）^{2}}}$=$\frac{4}{5}$．
∴|AB|=2$\sqrt{1-（\frac{4}{5}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$．
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．