Question

18．函数f（x）的定义域为R，以下命题正确的是（　　）
①同一坐标系中，函数y=f（x-1）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称；
②函数f（x）的图象既关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，对于任意x，又有f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），则f（x）的图象关于直线x=$\frac{3}{2}$对称；
③函数f（x）对于任意x，满足关系式f（x+2）=-f（-x+4），则函数y=f（x+3）是奇函数．

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 由y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称，同时结合函数的图象平移判断①；由函数f（x）的图象既关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，得f（$-\frac{3}{2}-x$）=-f（x），又f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），得f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x+$\frac{3}{2}$），即f（-x）=f（x），再由f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），可得函数周期T=3，进一步得f（x+$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x-$\frac{3}{2}$）判断②；
由已知可得函数f（x）的图象关于（3，0）对称，而函数y=f（x+3）是把y=f（x）向左平移3个单位得到的判断③．

解答 解：对于①，∵y=f（x）与y=f（-x）关于y轴对称，
而y=f（x-1）与y=f（1-x）都是y=f（x）与y=f（-x）向右平移1个单位得到的，
∴函数y=f（x-1）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称，故①正确；
对于②，函数f（x）的图象既关于点（-$\frac{3}{4}$，0）成中心对称，
则f（$-\frac{3}{2}-x$）=-f（x），而对于任意x，又有f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x+$\frac{3}{2}$），即f（-x）=f（x），
又根据f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），可得函数周期T=3，∴f（x+$\frac{3}{2}$）=f（$-\frac{3}{2}-x$）=f（x-$\frac{3}{2}$），
∴f（x）的图象关于直线x=-$\frac{3}{2}$对称，则f（x）的图象关于直线x=$\frac{3}{2}$对称，故②正确；
对于③，∵$\frac{（x+2）+（-x+4）}{2}=3$，∴函数f（x）的图象关于（3，0）对称，
而函数y=f（x+3）是把y=f（x）向左平移3个单位得到的，
∴函数y=f（x+3）是奇函数，故③正确．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查复合函数的性质问题，若对函数定义域内的任意一个变量x，都有①，f（x）=2b-f（2a-x），则函数关于点（a，b）成中心对称；②f（x）=f（2a-x），则函数图形关于直线x=a对称．该题是中档题．