Question

已知函数f（x）=lnx-

x-1

x

，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．

解答： 解：假设存在这样的切线，设其中一个切点T（x₀，lnx₀-

x0-1

x0

），
∴切线方程：y+1=

x0-1

x02

（x-1），将点T坐标代入得：lnx₀-

x0-1

x0

=

(x0-1)2

x02

，
即lnx₀+

3

x0

-

1

x02

-1=0，①
设g（x）=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，则g′（x）=

(x-1)(x-2)

x3

．
令g'（x）=0，则x=1或x=2．

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
∴g（x）在x=1处取得极大值g（1）=1，在x=2处取得极小值g（2）=ln2+

1

4

，
∴g（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，即g（x）=0在[1，+∞）上无解．
∵g（

1

4

）=-ln4-3＜0，g（1）=1＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，
根据零点定理，g（x）在区间（0，1）上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，
故符合条件的切线有且仅有一条．

点评：本题考查了导数的应用，考查利用导数研究函数单调区间，对于存在性问题，通常是先假设存在，由假设出发进行推导，若推出矛盾，说明假设错误，即不存在，反之说明存在．