Question

6．已知x＞0，y＞0，且x+2y=xy，若x+2y＞m²+2m恒成立，则xy的最小值为8，实数m的取值范围为（-4，2）．

Answer 1

分析 x+2y=xy等价于$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，根据基本不等式得出xy≥8，再次利用基本不等式求出x+2y的最小值，进而得出m的范围．

解答 解：∵x＞0，y＞0，x+2y=xy，
∴$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
∴1=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$≥$2\sqrt{\frac{2}{x}•\frac{1}{y}}$，
∴xy≤8，当且仅当x=4，y=2时取等号，
∴x+2y≥2$\sqrt{2xy}$≥8（当x=2y时，等号成立），
∴m²+2m＜8，解得-4＜m＜2
故答案为：8；（-4，2）

点评 考查了基本不等式的应用和恒成立问题的转换．应注意基本不等式中等号成立的条件．