Question

1．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（-1，3），$\overrightarrow{OB}$=（cosα，-sinα），且∠AOB=$\frac{π}{2}$．
求：$\frac{sin（π-2α）+{cos}^{2}α}{sin2α+cos2α+1}$．

Answer 1

分析 利用平面向量数量积的运算可求tanα的值，进而利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{OA}$=（-1，3），$\overrightarrow{OB}$=（cosα，-sinα），且∠AOB=$\frac{π}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，
∴-cosα-3sinα=0，可得：tan$α=-\frac{1}{3}$，
∴$\frac{sin（π-2α）+{cos}^{2}α}{sin2α+cos2α+1}$=$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α}{2sinαcosα+2co{s}^{2}α}$=$\frac{2tanα+1}{2tanα+2}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．