Question

17．若函数y=mlnx（m＞0）的图象与函数y=e${\;}^{\frac{x}{m}}$的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （1，$\sqrt{e}$）
• B． （$\sqrt{e}$，e）
• C． （e，+∞）
• D． （$\sqrt{e}$，+∞）

Answer 1

分析 令b=${e}^{\frac{1}{m}}$＞1，则y=mlnx=$lo{g}_{{e}^{\frac{1}{m}}}x$=log_bx；y=$（{e}^{\frac{1}{m}}）^{x}$=b^x，即函数y=mlnx（m＞0）与y=${e}^{\frac{x}{m}}$ 互为反函数，且为增函数，两函数图形关于直线y=x对称，故其有两个交点等价于y=log_bx 与 y=x有两个交点，即函数f（x）=log_bx-x 有两个零点．

解答 解：令b=${e}^{\frac{1}{m}}$＞1，则y=mlnx=$lo{g}_{{e}^{\frac{1}{m}}}x$=log_bx；
y=$（{e}^{\frac{1}{m}}）^{x}$=b^x，即函数y=mlnx（m＞0）与y=${e}^{\frac{x}{m}}$ 互为反函数，且为增函数，
两函数图形关于直线y=x对称，故其有两个交点等价于y=log_bx 与 y=x有两个交点，
即函数f（x）=log_bx-x 有两个零点，
由f'（x）=$\frac{1}{x}（lo{g}_{b}e-x）$，
当0＜x＜log_be时，f'（x）＞0；当x＞log_be 时，f'（x）＜0；
故f（x）_max=f（log_be），所以f（log_be）＞0；
即：log_b（log_be）＞log_be⇒$lo{g}_{b}e\\;＞\\;e$＞e；
⇒e＞b^e⇒e＞${e}^{\frac{e}{m}}$；
解得：m＞e；
故选：C

点评 本题主要考查了反函数，方程根与图形交点问题以及转化思想的应用，属中等题．