Question

16．已知数列{a_n}各项都为正数，且a₁=e，lna_n+1-lna_n=1（n∈N^*）
（1）求数列{lna_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{ln{a}_{n+1}•ln{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）lna₁=lne=1．lna_n+1-lna_n=1（n∈N^*），数列{lna_n}是以1为首项，公差是1的等差数列．即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{ln{a}_{n+1}•ln{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵lna₁=lne=1．
∵lna_n+1-lna_n=1（n∈N^*），
∴数列{lna_n}是以1为首项，公差是1的等差数列．
∴lna_n=1+（n-1）=n．
（2）b_n=$\frac{1}{ln{a}_{n+1}•ln{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．