Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间，
（2）若函数f（x）在（2，+∞）上为单调递增函数，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）将a的值代入f（x），求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，问题转化为（x-2）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立，求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²+2lnx-3x，
f′（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，在（2，+∞）递增；
（2）∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2alnx+（a-2）x，a∈R，
∴f′（x）=x-$\frac{2a}{x}$+a-2=$\frac{（x-2）（x+a）}{x}$（x＞0），
由题意知f′（x）≥0在（2，+∞）上恒成立，
即  （x-2）（x+a）≥0在（2，+∞）上恒成立
解得 a≥-2，
∴a的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及导数的应用，是一道中档题．