Question

已知向量

a

=（cos³φ，sin³φ），

b

=（cos（α-φ），sin（α-φ）），φ∈[0，

π

4

]，

b

=x

a

（x＞0）．
（1）求|

a

|的取值范围；
（2）设

3

cosα=y，求y与x的函数关系式y=f（x），并指出其定义域；
（3）设正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合,向量的模,平行向量与共线向量

专题：等差数列与等比数列,三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）根据求模公式把|

a

|表示出来，利用公式化简成y=Asin（ωx+θ）的形式，然后求范围；
（2）先根据

b

=x

a

（x＞0）找到α与x的关系，然后用x把α表示出来，再代入

3

cosα=y，即可得到y=f（x）的表达式，定义域要根据φ∈[0，

π

4

]来求；
（3）一般来讲，要把数列转化成等差或等比数列，先根据递推关系找出a_n+1^与a_n间的关系，再进一步转化．

解答： 解：（1）cos⁶φ+sin⁶φ=（cos²φ+sin²φ）（cos⁴φ+sin⁴φ-cos²φsin²φ）
=（cos²φ+sin²φ）-3cos²φsin²φ=1-3cos²φsin²φ=1-

3

4

sin²2φ
=

3

8

-

3

8

cos4φ，∵φ∈[0，

π

4

]，∴4φ∈[0，π]，
∴cos4φ∈[-1，1]，∴

3

8

-

3

8

cos4φ∈[0，

3

4

]，
∴|

a

|=（cos⁶φ+sin⁶φ） 

1

2

=（

3

8

-

3

8

cos4φ）∈[0，

3

2

]．
（2）∵

b

=（cos（α-φ），sin（α-φ）），φ∈[0，

π

4

]，

b

=x

a

（x＞0），
∴（cos（α-φ），sin（α-φ））=x（cos³φ，sin³φ），
∴cos²（α-φ）+sin²（α-φ））=x²（cos⁶φ+sin⁶φ），
结合（1）可知（cos⁶φ+sin⁶φ）=1-3cos²φsin²φ，
∴x²（1-3cos²φsin²φ）=1 ①
同时xcos³φ=cos（α-φ）=cosαcosφ+sinαsinφ②，且 xsin³φ=sin（α-φ）=sinαcosφ-cosαsinφ③，
②③联立整理得sin³φcosφcosα+sinαsin⁴φ=cos⁴φsinα-cosαsinφcos³φ，
即cosαsinφcosφ（sin²φ+cos²φ）=sinα（cos²φ-sin²φ），
∴cos²αsin²φcos²φ=sin²α（cos²φ-sin²φ）²=（1-cos²α）（1-4sin²φcos²φ）④，
又

3

cosα=y，∴cos²α=

y2

3

⑤，
将①⑤整理后代入④得x²+y²=4，
∴y=-

4-x2

或y=

4-x2

，结合（1）及①式可得x∈[

2 3

3

，2]．
（3）由（2）得an+1=

4-an2

⑥，
∵a₁=1且a_n＞0，∴a2=

3

，
又∵an=

4-an-12

代入⑥式得a_n+1=a_n-1，
∴an=

1，n为奇数 3 ，n为偶数

．

点评：本题主要是借助于平面向量的知识重点考查三角变换公式，公式运用主要是以变角为核心，所以必须熟练准确掌握公式才能正确解答此题，同时突出了转化与化归思想的运用．