Question

13．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：
第一步：构造数列1，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{n}$．①
第二步：将数列①的各项乘以n，得到数列（记为）a₁，a₂，a₃，…，a_n．则a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n=（　　）

• A． n²
• B． （n-1）²
• C． n（n-1）
• D． n（n+1）

Answer 1

分析 a_k=$\frac{n}{k}$．n≥2时，a_k-1a_k=$\frac{{n}^{2}}{（k-1）k}$=n²$（\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：∵a_k=$\frac{n}{k}$．
n≥2时，a_k-1a_k=$\frac{{n}^{2}}{（k-1）k}$=n²$（\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}）$．
∴a₁a₂+a₂a₃+…+a_n-1a_n=n²$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）]$
=${n}^{2}（1-\frac{1}{n}）$=n（n-1）．
故选：C．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．