Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，对于n∈N^*，以a_n，a_n+1为系数的一元二次方程a_nx²-2a_n+1x+1=0都有实数根α，β，且满足（α-1）（β-1）=2．
（Ⅰ）求证：数列{a_n-

1

3

}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用一元二次方程的根与系数关系得到α+β与αβ，代入（α-1）（β-1）=2后整理得到an+1-

1

3

=-

1

2

(an-

1

3

)，再由a1-

1

3

=

8

3

≠0可得数列{a_n-

1

3

}是等比数列；
（Ⅱ）求出等比数列{a_n-

1

3

}的通项公式，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅲ）利用分组求和及等比数列的前n项和公式求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： （Ⅰ）证明：由一元二次方程根与系数关系得到α+β=

2an+1

an

，αβ=

1

an

，
由（α-1）（β-1）=2，得αβ-(α+β)+1=

1

an

-

2an+1

an

+1=2，
整理得：an+1-

1

3

=-

1

2

(an-

1

3

)，
又a₁=3，
∴a1-

1

3

=

8

3

，
∴数列{a_n-

1

3

}是以

8

3

为首项，以-

1

2

为公比的等比数列；
（Ⅱ）解：由数列{a_n-

1

3

}是以

8

3

为首项，以-

1

2

为公比的等比数列，得
an-

1

3

=

8

3

•(-

1

2

)n-1，
∴an=

8

3

•(-

1

2

)n-1+

1

3

；
（Ⅲ）解：∵an=

8

3

•(-

1

2

)n-1+

1

3

，
∴{a_n}的前n项和S_n=

8

3

[(-

1

2

)0+(-

1

2

)1+(-

1

2

)2+…+(-

1

2

)n-1]+

n

3

=

8

3

•

1×[1-(- 1 2 )n]

1-(- 1 2 )

+

n

3

=

16

9

[1-(-

1

2

)n]+

n

3

．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了等比数列前n项和的求法，训练了数列的分组求和，是中档题．