Question

4．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），点F₁，F₂分别为左、右焦点，若双曲线右支上存在点P满足$\frac{|\overrightarrow{P{F}_{1}}|}{|\overrightarrow{P{F}_{2}}|}$=e（e为双曲线的离心率），则e的最大值为（　　）

• A． 4$\sqrt{2}$
• B． 3+$\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{2}$+1
• D． 3+2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设P点的横坐标为x，根据|PF₁|=e|PF₂|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．

解答 解：设P点的横坐标为x，准线方程为x=±$\frac{{a}^{2}}{c}$，
∵|PF₁|=e|PF₂|，P在双曲线右支（x≥a），
根据双曲线的第二定义，可得e²（x-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=e（x+$\frac{{a}^{2}}{c}$），
∴（e-1）x=a+$\frac{{a}^{2}}{c}$
∵x≥a，∴（e-1）x≥（e-1）a
∴a+$\frac{{a}^{2}}{c}$≥（e-1）a，e²-2e-1≤0，
∵e＞1，∴1＜e≤$\sqrt{2}$+1，
则双曲线的离心率的最大值为$\sqrt{2}$+1．
故选：C．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．