Question

已知偶数f（x）以4为周期，且当x∈[-2，0]时，f（x）=（

1

2

）^x-1，若在区间[-6，6]内关于x的方程f（x）•log₂（|x|+2）=0（a＞1）恰有4个不同的实数根，则a的取值范围是（　　）

• A、（1，2）
• B、（2，+∞）
• C、（1，

  3	4

  ）
• D、（

  3	4

  ，2）

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数的周期性

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先确定函数在区间[-6，6]内的解析式，利用函数y=f（x）与函数y=log_a（x+2）在区间[-6，6]上恰有4个交点，可得恰有4个交点的条件是log_a（6+2）＜3，即可求出a的取值范围

解答： 解：设x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，∴f（-x）=（

1

2

）^-x-1=2^x-1，
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵f（x）以4为周期，∴当x∈[2，4]时，x-4∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=（

1

2

）^x-4-1；及当x∈[4，6]时，x-4∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在区间[-6，6]内关于x的方程f（x）-log_a（|x|+2）=0（a＞1）恰有4个不同的实数根，
∴函数y=f（x）与函数y=log_a（x+2）在区间[-6，6]上恰有4个交点，
∴恰有4个交点的条件是log_a（6+2）＜3解得a＞2．
因此所求的a的取值范围为a＞2．
故选：B．

点评：本题主要考查函数零点的个数判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，有难度．