Question

已知全集U=R，A={x|

3

x-4

＜-1}，非空集合B={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}．
（1）当a=2时，求（∁_UA）∩B：
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断,交、并、补集的混合运算

专题：简易逻辑

分析：（1）当a=2时，求出集合B，根据集合的基本运算即可求（∁_UA）∩B：
（2）根据命题充分条件和必要条件的定义和关系，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（1）A={x|

3

x-4

＜-1}={x|

3

x-4

+1=

x-1

x-4

＜0}={x|1＜x＜4}，
当a=2时，B={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}={x|x²-9x+14≤0}={x|2≤x≤7}．
则∁_UA={x|x≥4或x≤1}，
则（∁_UA）∩B={x|4≤x≤7}．
（2）∵p是q的必要条件，
∴B⊆A，
由B={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）≤0}={x|（x-2）[x-（3a+1）]≤0}．
①若3a+1≥2，即a≥

1

3

，此时B={x|2≤x≤3a+1}
∵A={x|1＜x＜4}，B⊆A，
∴此时满足3a+1＜4，即

1

3

≤a＜1，
②若3a+1＜2，即a＜

1

3

，此时B={x|3a+1≤x≤2}
∵A={x|1＜x＜4}，B⊆A，
∴此时满足3a+1≥1，即0≤a＜

1

3

，
综上0≤a＜1，
即实数a的取值范围0≤a＜1．

点评：本题主要考查集合的基本运算以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．