Question

证明：当x≥0时，cosx≥1-

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x²．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：证明题,导数的综合应用

分析：构造函数f（x）=cosx+

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x²-1，求导f′（x）=x-sinx；再二阶求导f″（x）=1-cosx；从而确定函数的单调性，从而证明．

解答： 证明：令f（x）=cosx+

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x²-1；
则f′（x）=x-sinx；
f″（x）=1-cosx；
∵f″（x）=1-cosx≥0；
∴f′（x）=x-sinx在[0，+∞）上是增函数，
而f′（0）=0；
故f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立；
故f（x）=cosx+

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2

x²-1在[0，+∞）上是增函数；
故cosx+

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2

x²-1≥cos0-1=0；
故当x≥0时，cosx≥1-

1

2

x²．

点评：本题考查了导数的综合应用及二阶求导的应用，属于中档题．