Question

已知函数f（x）=x²-x，f′（x）为其导函数．
（1）设g（x）=lnx-f′（x）f（x），求g（x）的最大值及相应的x的值；
（2）对任意正数x，恒有f（x）+f（

1

x

）≥（x+

1

x

）•lnm，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先化简函数g（x）=lnx-f′（x）f（x）=lnx-（2x-1）（x²-x），从而求定义域；再求导g′（x）=-

(6x2+1)(x-1)

x

；从而确定函数的最大值及最大值点；
（2）f（x）+f（

1

x

）≥（x+

1

x

）•lnm可化为x²-x+

1

x2

-

1

x

≥（x+

1

x

）•lnm；从而化为lnm≤

x2-x+ 1 x2 - 1 x

x+ 1 x

；化简得

(x+ 1 x )2-2

x+ 1 x

-1=（x+

1

x

）-

2

x+ 1 x

-1；从而利用换元法求函数的最值，从而化恒成立问题为最值问题．

解答： 解：（1）g（x）=lnx-f′（x）f（x）=lnx-（2x-1）（x²-x），
故g（x）的定义域为（0，+∞）；
g′（x）=-

(6x2+1)(x-1)

x

；
故当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0；
故当x=1时，g（x）取得最大值，
g_max（x）=g（1）=0-0=0；
（2）f（x）+f（

1

x

）≥（x+

1

x

）•lnm可化为
x²-x+

1

x2

-

1

x

≥（x+

1

x

）•lnm；
又∵x＞0；
故lnm≤

x2-x+ 1 x2 - 1 x

x+ 1 x

=

(x+ 1 x )2-2

x+ 1 x

-1
=（x+

1

x

）-

2

x+ 1 x

-1；
令x+

1

x

=t，则t≥2；
则由t-

2

t

-1在[2，+∞）上是增函数知，
（t-

2

t

-1）_min=2-1-1=0；
故任意正数x，恒有f（x）+f（

1

x

）≥（x+

1

x

）•lnm可化为
lnm≤0；
故0＜m≤1；
故实数m的取值范围为（0，1]．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的方法，同时考查了换元法的应用，属于中档题．