Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设为原点，过原点的直线（不与轴垂直）与椭圆交于、两点，直线、与轴分别交于点、.问：轴上是否存在定点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，点的坐标为.

【解析】

（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合，求出，得到椭圆方程；

（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知，求出、的方程，求出、的坐标，假设存在定点使得，得到，求出，即可说明存在点坐标为满足条件.

（Ⅰ）由题意得，解得，所以，椭圆的方程为；

（Ⅱ）设，由题意及椭圆的对称性可知，

则直线的方程为，直线的方程为，

则点坐标为，点坐标为.

假设存在定点使得，

即（也可以转化为斜率来求），

即，即，即，所以，

所以存在点坐标为满足条件.