Question

【题目】已知椭圆：的短轴长为2，离心率.过椭圆的右焦点作直线l（不与轴重合）与椭圆交于不同的两点，.

（1）求椭圆的方程；

（2）试问在轴上是否存在定点，使得直线与直线恰好关于轴对称?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点满足条件．

【解析】

（1）由题意知，，解出即可；

（2）由题意，设，，定点（依题意，），设直线的方程为，与椭圆的方程联立并消元，得，，根据题意，化简整理得，解出即可．

解：（1）由题意知，，

解得，

∴椭圆的方程为：；

（2）存在定点，满足直线与直线恰好关于轴对称；

由题设知，直线的斜率不为0，设直线的方程为，

与椭圆的方程联立，消元整理得，

设，，定点（依题意，），

由韦达定理可得，，，

直线与直线恰好关于轴对称，则直线与直线的斜率互为相反数，

∴，即，

又，

∴，

整理得，，

∴，即，

∴当，即时，直线与直线恰好关于轴对称，

综上：在轴上存在点，满足直线与直线恰好关于轴对称．