Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d有两个极值点-1和

7

3

，且f（x）的图象在原点处的切线与直线x-7y=0垂直．
（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）设t=sin²x-sinx，试比较f（t）与f（-1）的大小．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得f（0）=d=0，f′（x）=c=-7，-

2b

3a

=-1+

7

3

，

c

3a

=-

7

3

，由此能求出a，b，c，d的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=3x²-4x-7，由此利用导数性质能求出f（t）＜f（-1）．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
依题得：

f(0)=d=0 f′(0)=c=-7 - 2b 3a =-1+ 7 3 c 3a =- 7 3

⇒

a=1 b=-2 c=-7 d=0

，
∴a=1，b=-2，c=-7，d=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x）=3x²-4x-7，
∴f（x）在(-∞，-1)，(

7

3

，+∞)上递增，在(-1，

7

3

)上递减，
∴当x∈[-1，

7

3

]时，f（x）_max=f（-1），
又t=sin2x-sinx=(sin-

1

2

)2-

1

4

∈[-

1

4

，2]⊆[-1，

7

3

]，
∴f（t）＜f（-1）．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．