Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n=a_n-1+n，（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

1

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：计算题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）由已知，得a_n-a_n-1=n（n≥2，n∈N*），利用累加法求通项公式
（Ⅱ）bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法求数列{b_n}的前n项和S_n

解答： 解：（Ⅰ）a_n-a_n-1=n（n≥2，n∈N*）
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，(n∈N*)
当n=1时满足上式，∴an=

n(n+1)

2

．  　　　　　　　　 　
（Ⅱ）bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=

2n

n+1

点评：本题考查累加法，裂项法在数列计算中的应用，考查计算能力．