Question

已知函数f（x）=x²+ax-lnx
（1）若a=1，求f（x）的单调区间与极值；
（2）若函数f（x）在[1，2]内是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）求导数，利用导数的正负，确定函数的单调性，从而可求极值．
（2）先对函数f（x）进行求导，根据函数f（x）在[1，2]上是减函数可得到其导函数在[1，2]上小于等于0应该恒成立，再结合二次函数的性质可求得a的范围．

解答： 解：（1）f（x）=x²+ax-lnx，当a=1时，f（x）=x²+x-lnx，x＞0
求导得：f'（x）=2x-

1

x

+1
令f'（x）=0，整理得：2x²+x-1=0，即（2x-1）（x+1）=0
所以x=

1

2

，
0＜x＜

1

2

时，f'（x）＜0，f（x）是单调减函数，单调减区间为（0，

1

2

]；
当x＞

1

2

时，f'（x）＞0，f（x）是单调增函数，单调增区间为[

1

2

，+∞），
∴x=

1

2

时，函数取得极小值

3

4

+ln2；
（2）∵函数f（x）在[1，2]内是减函数，
∴f'（x）=

2x2+ax-1

x

≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0 h(2)≤0

得

a≤-1 a≤- 7 2

，
∴a≤-

7

2

．

点评：本题主要考查导数的运算和函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．