Question

19．设等比数列{z_n}，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，且a＞0）．
（1）求a，b的值；
（2）试求使z₁+z₂+…十z_n=0最小的正整数n；
（3）对（2）中的正整数n，求z₁•z₂•…•z₁₂的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用等比数列的性质列式求得a，b的值；
（2）由等比数列的前n项和公式得到$（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i）^{n}=1$，借助于棣莫弗定理求得使z₁+z₂+…十z_n=0最小的正整数n；
（3）由指数式的运算性质结合等差数列的前n项和及棣莫弗定理求值．

解答 解：（1）由z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai，且{z_n}是等比数列，
得（a+bi）²=1×（b+ai），即a²-b²+2abi=b+ai，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=b}\\{2ab=a}\end{array}\right.$，
∵a＞0，解得：$a=\frac{\sqrt{3}}{2}，b=\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得，等比数列{z_n}的公比为q=$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$，
∴z₁+z₂+…十z_n=$\frac{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i）^{n}}{1-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i}=0$，得$（\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i）^{n}=1$，
即$（cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}）^{n}=1$，∴$cos\frac{nπ}{6}+isin\frac{nπ}{6}=1$，
∴n的最小值为12；
（3）z₁•z₂•…•z₁₂=$（cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}）^{0+1+2+…+11}=（cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6}）^{\frac{（1+11）×11}{2}}$=cos11π+isin11π=-1．

点评 本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，训练了复数三角形式的乘除运算，考查棣莫弗定理的应用，是中档题．