Question

9．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足acosA=bcosB，且a≠b．
（1）求∠C的值；
（2）若实数p满足（sinAcosA）p=2-cos²A，求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由acosA=bcosB，利用正弦定理可得：sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．由于a≠b，可得A≠B，可得$A+B=\frac{π}{2}$．即可得出C．
（2）由（1）可得：tanA＞0，利用实数p满足（sinAcosA）p=2-cos²A，化为p=$\frac{2-co{s}^{2}A}{sinAcosA}$=$\frac{2ta{n}^{2}A+1}{tanA}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，2A，2B∈（0，2π）．
∴2A=2B，或2A=π-2B，
∵a≠b，∴A≠B，
∴$A+B=\frac{π}{2}$．
∴C=π-（A+B）=$\frac{π}{2}$．
（2）由（1）可得：tanA＞0，
∵实数p满足（sinAcosA）p=2-cos²A，
∴p=$\frac{2-co{s}^{2}A}{sinAcosA}$=$\frac{2si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}{sinAcosA}$=$\frac{2ta{n}^{2}A+1}{tanA}$=$2tanA+\frac{1}{tanA}$≥2$\sqrt{2tanA•\frac{1}{tanA}}$=2$\sqrt{2}$，当且仅当tanA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴p的取值范围是$[2\sqrt{2}，+∞）$．

点评 本题考查了正弦定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式、“弦化切”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．