Question

11．已知球O半径为$\sqrt{5}$，设S、A、B、C是球面上四个点，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，平面SAC⊥平面ABC，则棱锥S-ABC的体积的最大值为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 3$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出底面三角形的面积，底面三角形的所在平面圆的半径，由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S-ABC补成一个同底等高的棱柱，即可求解锥S-ABC的体积的最大值．

解答 解：三棱锥O-ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=2，∠ABC=120°，
∴BC=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC外接圆半径2r=4，即r=2
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2×sin120°=$\sqrt{3}$，OG=$\sqrt{5-4}$=1
由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S-ABC补成一个同底等高的棱柱，
∴棱锥S-ABC的体积的最大值为$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：A

点评 本题考查棱锥S-ABC的体积的最大值，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．