Question

4．已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）＞5的解集为{x|x＞2或x＜-3}．
（I）求a的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）-f（$\frac{x}{2}$）≤k在R上有解，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由题意知2，-3是方程|ax+1|=5的解，从而解得．
（Ⅱ）化简f（x）-f（$\frac{x}{2}$）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-1}\\{-3x-2，-1＜x＜-\frac{1}{2}}\\{x，x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，从而可确定函数的单调性及最值，从而确定答案．

解答 解：（I）∵不等式f（x）＞5的解集为{x|x＞2或x＜-3}，
∴2，-3是方程|ax+1|=5的解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|2a+1|=5}\\{|-3a+1|=5}\end{array}\right.$，
解得，a=2；
（Ⅱ）∵f（x）-f（$\frac{x}{2}$）=|2x+1|-|x+1|
=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x≤-1}\\{-3x-2，-1＜x＜-\frac{1}{2}}\\{x，x≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上是减函数，在（-$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
∴f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴若使不等式f（x）-f（$\frac{x}{2}$）≤k在R上有解，
只需使k≥$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了不等式与方程的关系应用及分段函数的应用，同时考查了函数的单调性及最值的确定．