Question

设α∈（0，

π

2

），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，当x≥y时，有f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）
（1）求f（

1

2

），f（

1

4

）；
（2）求α的值
（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,函数的值

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用赋值法即可求f（

1

2

），f（

1

4

）；
（2）建立方程关系，利用三角函数的关系即可求α的值
（3）根据三角函数的单调性，建立不等式关系即可求函数g（x）=sin（α-2x）的单调增区间．

解答： 解：（1）当x=0，y=1时，由f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）
得f（

1

2

）=f（

1

2

）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，
f（

1

4

）=f（

1 2 +0

2

）=f（

1

2

）sinα+（1-sinα）f（0）=sin²α，
（2）f（

3

4

）=f（

1+ 1 2

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（

1

2

）=sinα（2-sinα），
即f（

1

2

）=f（

3 4 + 1 4

2

）=f（

3

4

）sinα+（1-sinα）f（

1

4

）=sin²α（3-2sinα），
∴sinα=sin²α（3-2sinα），
∴sinα=0或1或

1

2

．
∵α∈（0，

π

2

），∴α=

π

6

．
（3）g（x）=sin（α-2x）=sin（

π

6

-2x）=sin（2x+

5π

6

），
由-

π

2

+2kπ≤2x+

5π

6

≤

π

2

+2kπ，
解得kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，
∴g（x）的单调增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]k∈Z．

点评：本题主要考查三角函数的单调性的判断，利用抽象函数，利用赋值法是解决本题的关键．