Question

已知函数f（x）=lnx-

a(x-1)

x+1

（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设m＞n＞0，求证：

lnm-lnn

2

＞

m-n

m+n

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数单调性的性质

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f′（x）=

x2+2(1-a)x+1

x(x+1)2

，根据题意，在（0，+∞）上恒有f′（x）≥0，即x²+2（1-a）x+1≥0，解不等式求出即可；
（Ⅱ）原式?ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，由 

m

n

＞1 得f（

m

n

）＞f（1），而f（1）=0，从而问题得证．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

x2+2(1-a)x+1

x(x+1)2

，
根据题意，在（0，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即x²+2（1-a）x+1≥0，
∴a≤

1

2

（x+

1

x

）+1，
∵x+

1

x

≥2，
∴y=

1

2

（x+

1

x

）+1≥2，
∴a≤2，
 a的取值范围是（-∞，2]；
（Ⅱ）原式?ln

m

n

-

2( m n -1)

m n +1

＞0，
由（Ⅰ）得a=2时f（x）在（0，+∞）上为增函数
∵m＞n＞0，
∴

m

n

＞1，
∴f（

m

n

）＞f（1），
而f（1）=0，
∴原式成立．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，分离参数法，不等式的证明，是一道中档题．