Question

设等差数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a₁₀=8，S₃=0．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令bn=(

1

2

)an，求{b_n}的前n项和T_n；
（3）若不等式

k

4-Tn

≥2an-3对于n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接根据题中的条件建立方程组求数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论求数列的和．
（3）首先构造新的数列，再证明数列的单调性，进一步利用恒成立问题求出结论．

解答： 解：（1）∵

a1+9d=8 3a1+3d=0

∴

a1=-1 d=1

，
求得：a_n=n-2
（2）∵bn=(

1

2

)n-2=2(

1

2

)n-1，
∴{bn}是首项为b1=2，公比为

1

2

的等比数列，
故Tn=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4[1-(

1

2

)n]=4-(

1

2

)n-2
(3)由

k

4-Tn

=

k•2n

4

≥2n-7对n∈N*恒成立，
∴

k

4

≥

2n-7

2n

对n∈N*恒成立．
令Cn=

2n-7

2n

，
由Cn+1-Cn=

2n-5

2n+1

-

2n-7

2n

=

9-2n

2n+1

，
当1≤n＜5时C_n+1＞C_n
当n≥5时C_n+1＜C_n
∴{Cn}中的最大项为C5=

3

32

，
∴

k

4

≥

3

32

，故k≥

3

8

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，等比数列的求和，恒成立问题的应用．属于中等题型．