Question

13．函数f（x）=Asin（ωx-φ）+m（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最大值为3，最小值为-1，其图象两条对称轴之间的最短距离为$\frac{π}{2}$，且f（$\frac{π}{2}$）=1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x+$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{4}$）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A和m，由周期求出ω，由f（$\frac{π}{12}$）=1，结合φ∈（0，$\frac{π}{2}$），解得φ，可得函数的解析式．
（2）先求g（x），由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得单调递减区间．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由题意可得：A+m=3，-A+m=-1，
解得：A=2，m=1．
∵图象两条对称轴之间的最短距离为$\frac{π}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=π，即$ω=\frac{2π}{π}=2$．
∵f（$\frac{π}{12}$）=1，
∴sin（$\frac{π}{6}$-φ）=0，又φ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴解得：φ=$\frac{π}{6}$．
故函数f（x）的解析式为：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1…6分
（2）g（x）=f（x+$\frac{π}{12}$）-f（x+$\frac{π}{4}$）=2sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=sin2x-$\sqrt{3}$2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），…8分
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z即可解得单调递减区间为：[k$π+\frac{5π}{12}$，k$π+\frac{11π}{12}$]，k∈Z．…12分

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）+B的部分图象求解析式，由函数的最值求出A和B，由周期求出ω，属于基础题．