Question

8．函数$y=\frac{x+2}{{{x^2}+3x+6}}$的最大值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 令x+2=t，则x=t-2，（t＞0）；从而化简$y=\frac{x+2}{{{x^2}+3x+6}}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-1}$，利用基本不等式化简可得$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-1}$≤$\frac{1}{3}$（当且仅当t=$\frac{4}{t}$，即t=2，x=0时，等号成立）；从而得到答案．

解答 解：易知x²+3x+6＞0，故只需讨论x+2＞0，
令x+2=t，则x=t-2，（t＞0）；
$y=\frac{x+2}{{{x^2}+3x+6}}$=$\frac{t}{（t-2）^{2}+3（t-2）+6}$=$\frac{t}{{t}^{2}-4t+4+3t}$=$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-1}$，
∵t+$\frac{4}{t}$≥4，故t+$\frac{4}{t}$-1≥3，故$\frac{1}{t+\frac{4}{t}-1}$≤$\frac{1}{3}$，
（当且仅当t=$\frac{4}{t}$，即t=2，x=0时，等号成立）；
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了换元法的应用及基本不等式的化简与应用．