Question

1．如图，在三棱锥AB0C中．AO⊥平面BOC，∠OAB=∠OAC=$\frac{π}{6}$．AB=AC=2．BC=$\sqrt{2}$，D，E分别为AB，OB的中点．
（1）求O到平面ABC的距离；
（2）在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F的位置，并证明此点满足要求；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明OC⊥OB，利用等体积法，求出O到平面ABC的距离；
（2）取CB的中点F，连接DF，EF，则DF∥AC，DE∥AO，从而可得平面DEF∥平面AOC．

解答 （1）证明：∵AO⊥底面BOC，
∴AO⊥OC，AO⊥OB．
∵∠OAB=∠OAC=30°，AB=AC=2，
∴OC=OB=1．
∵BC=$\sqrt{2}$，由勾股定理得OC⊥OB，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{4-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴由等体积可得O到平面ABC的距离=$\frac{{S}_{△OBC}•OA}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（2）存在CB的中点F满足题意，
证明：取CB的中点F，连接DF，EF，则由于D，E分别为AB，OB的中点，有DF∥AC，DE∥AO，
∵DF∩DE=D，AC∩AO=A，DF，DE?平面DEF，AO，AC?平面AOC，
∴平面DEF∥平面AOC．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于基本知识的考查．