Question

已知△ABC中

AB

=(k，1)，

AC

=(2，4)，|

AB

|≤

10

．
（Ⅰ）若k∈Z，求△ABC是直角三角形的概率；
（Ⅱ）若k∈R，求△ABC中B是钝角的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：

分析：利用向量的模求出k的范围，
（Ⅰ）k∈Z，求出直角三角形的个数与所有基本事件的个数，即可利用古典概型求△ABC是直角三角形的概率；
（Ⅱ）k∈R，求出求解长度，利用几何概型求△ABC中B是钝角的概率．

解答： 解：由已知

AB

=(k，1)，

AC

=(2，4)，|

AB

|≤

10

，得-3≤k≤3，

BC

=(2-k，3)
（I）若k∈Z，Ω={-3，-2，-1，0，1，2，3}，k的总数n=7．
若A是直角，则k=-2；
若B是直角，则k（2-k）+3=0，k=-1，k=3；
若C是直角，则2（2-k）+12=0，k=8；
故符合条件k的个数m=3，△ABC是直角三角形的概率为P=

m

n

=

3

7

．   （4分）
（II）若k∈R，-3≤k≤3，且k≠

1

2

，区间长度L=6．
若B是钝角，则k（2-k）+3＜0，-1＜k＜3，区间长度L′=4．
△ABC中B是钝角的概率P=

L′

L

=

2

3

．   （6分）

点评：本题考查几何概型以及古典概型的概率的求法，基本知识的考查．