Question

以y轴为左准线，离心率为

1

2

的椭圆过定点P（1，2），则此椭圆的左顶点的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可知椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴，设出左顶点坐标，由椭圆的离心率为

1

2

得到左焦点F的坐标，代入椭圆的第二定义得椭圆的左顶点的轨迹方程．

解答： 解：∵椭圆经过点M（1，2），且以y轴为准线，
∴椭圆在y轴右侧，长轴平行于x轴，
设椭圆左顶点为A（x，y），
∵椭圆的离心率为

1

2

，
∴左顶点A到左焦点F的距离为A到y轴的距离的

1

2

，
从而左焦点F的坐标为（

3x

2

，y），
设d为点M到y轴的距离，则d=1，
根据

|MF|

d

=

1

2

及两点间距离公式，可得
(

3x

2

-1)2+(y-2)2=(

1

2

)2，即
9(x-

2

3

)2+4(y-2)2=1．
故答案为：9(x-

2

3

)2+4(y-2)2=1．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了椭圆的第二定义，体现了数学转化思想方法，是中档题．