Question

11．在锐角△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，（a²+c²-b²）tanB=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$ac．
（1）求sinB的值；
（2）若b=2，S_△ABC=$\sqrt{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及余弦定理可得cosBtanB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，利用同角三角函数基本关系式即可得解sinB的值．
（2）利用三角形面积公式可求ac=3，由sinB可求cosB，由余弦定理可得：a⁴-6a²+9=0，即可解得a的值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$tanB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosBtanB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．…（6分）
（2）∵S_△ABC=$\sqrt{2}$，又S_△ABC=$\frac{1}{2}$casinB=$\frac{1}{2}$ac$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴ac=3．  …（8分）
∵△ABC为锐角三角形且sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cosB=$\frac{1}{3}$．…（10分）
将b=2，cosB=$\frac{1}{3}$，c=$\frac{3}{a}$代入余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
∴a⁴-6a²+9=0，
∴a=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，一元二次方程的解法，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．