Question

1．已知函数$f（x）=\frac{1}{{{x^2}-1}}$．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断并证明函数f（x）在（1，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用分母不为0，求出函数的定义域．
（2）利用函数的奇偶性的定义，证明即可．
（3）利用函数的单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为：x²-1≠0，
解得：{x|x≠±1}，
∴函数f（x）的定义域为：{x|x≠±1}．
$（2）f（-x）=\frac{1}{{（-x）}^{2}-1}=\frac{1}{{x}^{2}-1}=f（x）$，
∴函数f（x）为偶函数．
（3）证明：任取x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂；
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}-1}-\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}-1}$
=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}$．
∵x₂＞x₁＞1，
∴$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{{x}_{1}}^{2}-1）（{{x}_{2}}^{2}-1）}＞0$，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数．

点评 本题考查函数的定义域，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与证明，考查计算能力．