Question

9．如图，已知F₁、F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足$\overrightarrow{|{F}_{2}P|}$=$\overrightarrow{a}$，（$\overrightarrow{{F}_{1}P}+\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，线段PF₂与双曲线C交于点Q，若$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=5$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，则双曲线C的渐近线方程为（　　）

• A． y=±$\frac{\sqrt{5}}{5}x$
• B． y=±$\frac{1}{2}x$
• C． y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}x$
• D． y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}x$

Answer 1

分析 由题意，|PF₁|=|F₁F₂|2c，|QF₁|=$\frac{11}{5}$a，|QF₂|=$\frac{1}{5}$a，由余弦定理可得$\frac{4{c}^{2}+\frac{1}{25}{a}^{2}-\frac{121}{25}{a}^{2}}{2×2c×\frac{1}{5}a}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{2c}$，确定a，b的关系，即可求出双曲线C的渐近线方程．

解答 解：由题意，（$\overrightarrow{{F}_{1}P}+\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$）•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，∴|PF₁|=|F₁F₂|=2c，|QF₁|=$\frac{11}{5}$a，|QF₂|=$\frac{1}{5}$a，
∴由余弦定理可得$\frac{4{c}^{2}+\frac{1}{25}{a}^{2}-\frac{121}{25}{a}^{2}}{2×2c×\frac{1}{5}a}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{2c}$，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
∴b=$\frac{1}{2}$a，
∴双曲线C的渐近线方程为y=$±\frac{1}{2}$x．
故选：B．

点评 本题考查双曲线C的渐近线方程，考查学生的计算能力，确定a，b的关系是关键．