Question

下列四个命题中的假命题是（　　）

• A、?x∈R，e^x≥x+1
• B、?x∈R，e^-x≥-x+1
• C、?x₀＞0，lnx₀＞x₀-1
• D、?x₀＞0，ln

  1

  x0

  ＞-x₀+1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,简易逻辑

分析：分别构造对应的函数，并利用导数法分析函数的最值，进而可逐一判断出四个答案中对应命题的真假，得到结论．

解答： 解：对于A，令f（x）=e^x-x-1，则f′（x）=e^x-1，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
故当x=0时，f（x）取最小值0，即f（x）≥0恒成立，
即?x∈R，e^x≥x+1，故正确；
对于B，令f（x）=e^-x+x-1，则f′（x）=-e^-x+1，
当x＞0时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x＜0时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
故当x=0时，f（x）取最小值0，即f（x）≥0恒成立，
即?x∈R，e^-x≥-x+1，故正确；
对于B，令f（x）=lnx-x+1，则f′（x）=

1

x

-1，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
故当x=1时，f（x）取最大值0，即f（x）≤0恒成立，
即?x∈R，lnx≤x-1，故错误；
对于D，由C答案的分析过程得：当x＞0且x≠1时，lnx＜x-1，
即?x₀＞0，使lnx₀＜x₀-1，即-lnx₀＜-x₀+1，即ln

1

x0

＞-x₀+1，故正确；
故选：C

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了导数法研究函数单调性和最值的方法，综合性强，难度较大，属于难题．