Question

已知三角形△ABC的三个顶点分别为A（-1，0），B（1，0），C（0，1）．
（1）动点P在三角形△ABC的内部或边界上，且点P到三边AC，AB，BC的距离依次成等差数列，求点P的轨迹方程；
（2）若0＜a≤b，直线l：y=ax+b将△ABC分割为面积相等的两部分，求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（x，y），由题意知

|x-y+1|

2

+

|x+y-1|

2

=2|y|，由此能求出点P的轨迹方程．
（2）当b=a时，直线l的方程为y=a（x+1），过定点A（1，0），直线l过三角形的重心（0，

1

3

）；当b＞a时，令y=0，得x=-

b

a

，故直线l与两边BC，AC分别相交，由面积之比等于相似比的平方，得b＞1-

2

2

．由此能求出实数b的取值范围．

解答： 解：（1）设P（x，y），
由题意知

|x-y+1|

2

+

|x+y-1|

2

=2|y|，
∵x+y-1≥0，x+y-1≤0，y≥0，
∴

x-y+1

2

-

x+y-1

2

=2y，
整理，得y=

2

-1（

2

-2＜x＜2-

2

）．
（2）当b=a时，直线l的方程为y=a（x+1），过定点A（1，0），
由平面几何知识知直线l过三角形的重心（0，

1

3

），
∴b=a=

1

3

；
当b＞a时，
令y=0，得x=-

b

a

，故直线l与两边BC，AC分别相交，
设其交点分别为D，E，
当a不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，
则b也不断减小，
当DE∥AB时，△CDE∽△CBA，
由面积之比等于相似比的平方，
得b＞1-

2

2

．
综上，实数b的取值范围是（1-

2

2

，

1

3

]．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．