Question

3．在直角坐标系下，直线l过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{4}$，以原点O为极点，以Χ轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（1）写出l的参数方程和C的直角坐标方程
（2）设l与曲线C交于A、B两点，求$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由直线l过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{4}$，可得：直线l的参数方程．曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t²-2=0，可得$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$．

解答 解：（1）由直线l过点P（1，1），倾斜角α=$\frac{π}{4}$，
可得：直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=4x．
（2）把直线l的参数方程代入圆的方程可得：t²-2=0，
∴t=$±\sqrt{2}$，t₁=-t₂=$-\sqrt{2}$．
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}$+$\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}$+$\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．