Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，且acosB=（3c-b）cosA．
（1）若asinB=2$\sqrt{2}$，求b；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，且△ABC的面积为$\sqrt{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （1）由acosB=（3c-b）cosA，利用正弦定理可得：sinAcosB=（3sinC-sinB）cosA，再利用和差公式、诱导公式可得cosA=$\frac{1}{3}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$，再利用正弦定理即可得出．
（2）由△ABC的面积为$\sqrt{2}$，可得bc=3，再利用余弦定理即可得出．

解答 解：（1）∵acosB=（3c-b）cosA，∴sinAcosB=（3sinC-sinB）cosA，∴sin（A+B）=sinC=3sinCcosA，sinC≠0，∴cosA=$\frac{1}{3}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵$asinB=2\sqrt{2}$，∴$b=\frac{{a{sinB}}}{sinA}=3$．
（2）∵△ABC的面积为$\sqrt{2}$，∴$\frac{{\sqrt{2}}}{3}bc=\sqrt{2}$，得bc=3，
∵$a=2\sqrt{2}$，∴${b^2}+{c^2}-\frac{2}{3}bc=8$，
∴${（{b+c}）^2}-\frac{8}{3}bc=8$，即（b+c）²=16，
∵b＞0，c＞0，∴b+c=4，
∴△ABC的周长为$a+b+c=4+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．