Question

如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B，
（1）设α=105°，β=75°，求

OA

•

OB

；
（2）试证明两角差的余弦公式C_（α-β）；cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义

专题：三角函数的求值

分析：（1）由题意推出点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），利用两角差的余弦函数直接求解即可．
（2）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β．设它们的终边分别交单位圆于点P₁（cosα，sinα），P₂（cosβ，sinβ），即有两单位向量

OA

，

OB

，它们的所成角是|α-β|，根据向量数量积的性质能够证明cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

解答： 解：（1）在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，
再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α=105°，β=75°．
设它们的终边分别交单位圆于点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），

OA

•

OB

=cos105°cos75°+sin105°sin75°
=cos（105°-75°）=cos30°=

3

2

．
（2）如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，作一单位圆，再以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β．
设它们的终边分别交单位圆于点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），…（4分）
即有两单位向量

OA

，

OB

，
它们的所成角是|α-β|，
根据向量数量积的性质得：

OA

•

OB

=cos（α-β）=cos|α-β|①
又根据向量数量积的坐标运算得：

OA

•

OB

=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①②得 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

点评：本题考查平面向量的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，利用三角函数的性质合理地进行等价转化．