Question

△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2

3

，cosA=-

1

2

，b=2．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）设f（x）=cos2x+2sin²（x+B），求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将a，cosA，以及b的值代入求出c的值；
（Ⅱ）由cosA的值，求出A的度数，根据b=c，利用等边对等角得到B=C=

π

6

，代入f（x）中利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的单调性即可确定出f（x）的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABC中，由a=2

3

，cosA=-

1

2

，b=2，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4+c2-12

4c

=-

1

2

，
解得：c=2或c=-4（舍去），
则c的值为2；
（Ⅱ）∵cosA=-

1

2

，A为三角形的内角，
∴A=

2π

3

，
∵b=c=2，
∴B=C=

π

6

，
∴f（x）=cos2x+2sin²（x+

π

6

）=cos2x+1-cos（2x+

π

3

）=cos2x-

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+1=sin（2x+

π

6

）+1，
即f（x）=sin（2x+

π

6

）+1，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得到kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
则f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：此题考查了余弦定理，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．