Question

已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（

1

2

，1）、C（1，0），求函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积．

Answer 1

考点：定积分在求面积中的应用

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：利用一次函数的解析式的求法，求得分段函数f（x）的函数解析式，进而求得函数y=xf（x）（0≤x≤1）的函数解析式，最后利用定积分的几何意义和微积分基本定理计算所求面积即可，

解答： 解：依题意，当0≤x≤

1

2

时，f（x）=2x，当

1

2

＜x≤1时，f（x）=-2x+2
∴f（x）=

2x ，x∈[0， 1 2  ] -2x+2 ， x∈( 1 2  ，1]

，
∴y=xf（x）=

2 x2，x∈[0， 1 2 ] -2x2+2x ，x∈( 1 2 ，1]

∴y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为S=

∫

1 2 0

2x2dx+

∫

1 1 2

(-2x2+2x)dx
=

2

3

x³

|

1 2 0

+（-

2

3

x3+x²）

|

1 1 2

=

1

4

．

点评：本题主要考查了分段函数解析式的求法，定积分的几何意义，利用微积分基本定理和运算性质计算定积分的方法，属基础题．