Question

15．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形．∠BAD=∠CDA=90°，直线PD⊥底面ABCD，AB=1，DC=2，AD=$\sqrt{3}$．点E是BC的中点．
（1）求证：AE⊥平面PBD；（2）若PD=$\frac{3}{2}$，求直线PC与平面PAE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空间坐标系，利用向量法结合线面垂直的判定定理即可证明AE⊥平面PBD；
（2）求出平面的法向量，利用向量法求出二面角的平面角的余弦值，即可得到结论．

解答 证明：（1）∵PD⊥底面ABCD，AE?平面ABCD，
则PD⊥AE，
建立以D为坐标原点，以DA，DC，DP分别为x，y，z轴，
建立空间坐标系如图：∵AB=1，DC=2，AD=$\sqrt{3}$，点E是BC的中点．
∴D（0，0，0），A（$\sqrt{3}$，0，0），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），E（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
则$\overrightarrow{DB}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），
则$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{AE}$=（$\sqrt{3}$，1，0）•（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$=-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2}$=0，
则$\overrightarrow{DB}$⊥$\overrightarrow{AE}$，
即AE⊥DB，
∵DB∩PD=D，
∴AE⊥平面PBD；
解：（2）若PD=$\frac{3}{2}$，则P（0，0，$\frac{3}{2}$），
则$\overrightarrow{PA}$=（-$\sqrt{3}$，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-$\frac{3}{2}$），
设平面PAE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）
则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{PA}$=-$\sqrt{3}$x+$\frac{3}{2}$z=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{AE}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x+$\frac{3}{2}$y=0，
令x=$\sqrt{3}$，则z=2，y=1，
则$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，2），
设直线PC与平面PAE所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PC}|}$|=|$\frac{2-\frac{3}{2}×2}{\sqrt{3+1+4}•\sqrt{4+\frac{9}{4}}}$|=$\frac{1}{\sqrt{8}•\sqrt{\frac{25}{4}}}=\frac{1}{2\sqrt{2}×\frac{5}{2}}$=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
即直线PC与平面PAE所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及线面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．考查学生的运算能力．