Question

7．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．
（Ⅰ）求证：CE²=CD•CB．
（Ⅱ）若D为BC的中点，且BC=2$\sqrt{2}$，求AB与DE的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BE，由切线的性质和相似三角形的判定定理可得△CED∽△CBE，即可得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE²=CB•CD，结合条件可得CE=2，运用直角三角形的勾股定理可得OB=1，由勾股定理可得AD，再由切割线定理可得BD²=DE•DA，即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接BE，由BC为圆O的切线，
可得∠ABC=90°，∠CBE=∠A，
由OA=OE，可得∠A=∠AEO，
由∠AEO=∠CED，可得∠CED=∠CBE，
又∠C=∠C，可得△CED∽△CBE，
即有$\frac{CE}{CB}$=$\frac{CD}{CE}$，
可得CE²=CB•CD；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知CE²=CB•CD，
D为BC的中点，且BC=2$\sqrt{2}$，
可得CE²=2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=4，即CE=2，
又OB²+BC²=OC²=（OE+EC）²=（OB+CE）²，
OB²+8=OB²+4OB+4，
解得OB=1，AB=2OB=2，
又AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
由切割线定理可得BD²=DE•DA，
则DE=$\frac{B{D}^{2}}{DA}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题圆的切线的性质和切割线定理、以及弦切角性质，相似三角形的判定定理和性质定理的运用，考查推理和运算能力，属于中档题．