题目内容
设正三角形A1B1C1边长为a，分别取B1C1，C1A1，A1B1的中点A2，B2，C2，记a1是正三角形A1B1C1除去△A2B2C2后剩下的三个内切圆面积之和，依此类推：记an是△AnBnCn除去△An+1Bn+1Cn+1后剩下的三个三角形内切圆面积之和，从而得到数列{an}，设这个数列{an}的前n项和Sn．（1）求an 和a1；
（2）求Sn，并证明Sn＜
| πα2 |
| 12 |
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）正三角形△A1B2C2的内切圆半径为r=
×
=
a，从而a1=π×(
a)2×3=
，由△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，则面积的比是1：4，依此类推△AnBnCn与△An-1Bn-1Cn-1的面积的比是1：4，从而求出an=
×（
）n-1．
（2）由Sn=a1+a2+a3+…+an=
[1+
+(
)2+…+(
)n-1]，利用等比数列前n项和公式能求出Sn，并能证明Sn＜
．
| 1 |
| 3 |
(
|
| 1 |
| 3 |
| ||
| 12 |
| ||
| 12 |
| 9πa2 |
| 144 |
| 9πa2 |
| 144 |
| 1 |
| 4 |
（2）由Sn=a1+a2+a3+…+an=
| 9πa2 |
| 144 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| πα2 |
| 12 |
解答：
解：（1）∵正三角形△A1B2C2的边长为
a，
内切圆半径为r=
×
=
a，
∴a1=π×(
a)2×3=
，
∵△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是1：4，∴a2=
×
，
∵正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是1：4，∴a3=
×（
）2，
依此类推△AnBnCn与△An-1Bn-1Cn-1的面积的比是1：4，
∴an=
×（
）n-1．
（2）Sn=a1+a2+a3+…+an
=
[1+
+(
)2+…+(
)n-1]
=
×
=
（1-
）．
∵1-
＜1，∴Sn＜
．
| 1 |
| 2 |
内切圆半径为r=
| 1 |
| 3 |
(
|
| 1 |
| 3 |
| ||
| 12 |
∴a1=π×(
| ||
| 12 |
| 9πa2 |
| 144 |
∵△A2B2C2与△A1B1C1相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是1：4，∴a2=
| 9πa2 |
| 144 |
| 1 |
| 4 |
∵正△A3B3C3与正△A2B2C2的面积的比也是1：4，∴a3=
| 9πa2 |
| 144 |
| 1 |
| 4 |
依此类推△AnBnCn与△An-1Bn-1Cn-1的面积的比是1：4，
∴an=
| 9πa2 |
| 144 |
| 1 |
| 4 |
（2）Sn=a1+a2+a3+…+an
=
| 9πa2 |
| 144 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
=
| 9πa2 |
| 144 |
1-(
| ||
1-
|
=
| πa2 |
| 12 |
| 1 |
| 4n |
∵1-
| 1 |
| 4n |
| πα2 |
| 12 |
点评：本题考查数列的首项和通项公式的求法，考查前n项和的求法，考查不等式的证明，解题时要注意三角形面积公式的合理运用．
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