Question

已知e=2.71828…是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅱ）比较ln2和

13

20

的大小．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知可得f′（x）=

1

x+1

-1+x，当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，得函数f（x）在[0，+∞）上单调性，即可得到函数的最小值；
（Ⅱ）可用分析法比较ln2和

13

20

的大小．

解答： 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

，
则f′（x）=

1

x+1

-1+x

x2

x+1

，
故当x∈[0，+∞）时f′（x）≥0，
则函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，
故函数f（x）=ln（x+1）-x+

x2

2

在[0，+∞）上的最小值为0；
（Ⅱ）可知ln2＞

13

20

（用分析法比较ln2和

13

20

的大小）
下面给出证明：ln2＞

13

20

，只需证ln4＞

13

10

，
只需证ln

4

e

＞

3

10

，
而由（Ⅰ）知ln（x+1）≥x-

x2

2

（x≥0）
所以ln[1+（

4

e

-1）]≥（

4

e

-1）-

1

2

(

4

e

-1)2
只需证（

4

e

-1）-

1

2

(

4

e

-1)2＞

3

10

，
即需证明4（e-1）＞0.9e²
而e=2.71828…是自然对数的底数，
故4（e-1）＞0.9e²恒成立，
从而ln2＞

13

20

得证

点评：本题考查函数在闭区间上的最值的求法，解题时要注意导数性质的合理运用，以及不等式证明中的分析法的应用．